Alzi la mano, che almeno una volta nella vita ha sentito parlare dell’equazione di Dirac. Certamente, la maggior parte di coloro che leggono ora, con le mani alzate, cercano di ricordare dove e in quali circostanze hanno incontrato questa equazione. E se ti dicessimo invece dell’equazione di Dirac “l’equazione dell’amore“Puoi inventare qualcosa di più nitido?
L’equazione di Dirac come poesia romantica
Molti di voi conoscono l’equazione del foro buco come l’equazione dell’amore, e perché come la più romantica delle equazioni della fisica. Fidanzate e amanti ammirano questa equazione, che spesso termina con un tatuaggio sugli avambracci e sui polsi, che indica il legame inscindibile tra Romeo e Giulietta.
Come si può vedere dal tatuaggio, l’equazione è riportata come $$ ( partial + m) psi = 0. $$ L’interpretazione romantica segue da questa definizione di sistemi fisici “confusi”:
Quando due sistemi interagiscono tra loro per un periodo di tempo e poi si separano, non possiamo più descriverli come due sistemi diversi, ma in qualche modo diventare sottilmente un sistema.
Quello che succede a uno di loro continua a influenzare l’altro, anche quando sono negli anni luce.
È chiaro che la definizione di intreccio quantistico è facilmente riconducibile a interpretazioni più shakespeariane e morbide. Se colleghiamo questo concetto con l’equazione di Dirac e affermiamo che esprime lo stesso concetto delle migliori fiabe, la fredda equazione fisico-matematica può diventare un potente simbolo d’amore. Ma è un peccato che non sia così.
Relatività speciale: il punto di partenza dell’equazione di Dirac
Per capire perché l’equazione di Dirac non ha nulla a che fare con la passione di due amanti, è necessario comprenderne il significato più profondo e, per quanto possibile, la conclusione matematica.
Nel 1905 Albert Einstein formulò una teoria della relatività speciale. Come molti di voi sanno, descrive la cinematica e la dinamica di corpi enormi che si muovono a una velocità veloce verso la luce. In poche parole, è una cosa generalizzazione della fisica newtoniana, con una modifica del cosiddetto invarianti fisiche, ovvero quelle grandezze che restano fisse, anche se cambia il quadro di riferimento da cui vengono calcolate.
Einstein lo ha dimostrato in una teoria della relatività specialeun invariante relativistico dinamico include l’energia cinetica e quantità di moto secondo il rapporto $$ E ^ 2 – p ^ 2 c ^ 2 = m ^ 2 c ^ 4, $$ dove (E ) rappresenta l’energia cinetica, (p ) momento, (m ) massa o e (c ) velocità della luce. L’equazione afferma che a un’energia e una quantità di moto fisse di un oggetto, la massa è obbligata a obbedire alla legge di cui sopra.
Quantizzazione ed equazione di Klein-Gordon
L’equazione di Klein-Gordon è il primo tentativo di combinare la meccanica quantistica e la relatività speciale. Partendo dalla relazione di invarianza relativistica, introduciamo la costante di Planck normalizzata ( non h ) e la funzione d’onda ( psi /), che descrive lo stato quantistico di una particella elementare. Il modulo del quadrato ( psi ) non è altro che una funzione di densità di probabilità che ci dice qual è la probabilità che una particella si trovi in una certa regione dello spazio-tempo.
Riscrivendo energia e quantità di moto secondo complesse operazioni matematiche, che qui non tralasciamo, arriviamo all’equazione di Klein-Gordon $$ ( partial_ mu partial ^ mu – dfrac {m ^ 2 c ^ 2} { no x ^ 2}) psi = 0. $$ Il problema era che le soluzioni di questa equazione potevano portare a probabilità negative, che dal punto di vista matematico non ha senso, poiché la probabilità è una misura da 0 a 1.
Equazione di Hole
Nel 1928 il fisico Paul Dirac ha deciso di superare i limiti dell’equazione di Klein-Gordon e ha scritto una legge che rispettava i principi matematici calcolo delle probabilità. Ha definito l’espressione lineare di energia con un tratto ingegnoso, senza rimuovere la radice quadrata dalla formula dell’invarianza relativistica: $$ E = alpha pc + mc ^ 2 beta $$ dove ( alpha ) e ( beta ) – array correttamente definiti (4 volte 4 ). Quantizzando questa espressione lineare, dopo complesse manipolazioni matematiche arriviamo all’equazione $$ (i gamma ^ mu dfrac { partial} { partial x ^ mu} – m) psi = 0, $$ dove ( mu = 0,1,2,3 ) rappresenta l’indice per muoversi nelle quattro dimensioni dello spazio-tempo. Ora, per renderlo più compatto, di solito impostiamo ( not partial = gamma ^ mu dfrac { partial} { partial x ^ mu} ), arrivo all’equazione di Hole che conosciamo oggi, ovvero: $$ (i not part – m) psi = 0. $$
Il vero valore dell’equazione di Dirac
Supponendo la dimensione degli array ( alpha ) e ( beta ), L’equazione di Dirac è in realtà un sistema di quattro equazioni, cioè la funzione d’onda ( psi (x, t) ) è un vettore quadridimensionale. Da un punto di vista puramente matematico, L’equazione di Dirac è un’equazione differenziale per derivate parziali, con una funzione d’onda sconosciuta. Se invece ci spostiamo nel mondo della fisica dove questa equazione vive effettivamente, possiamo dirlo descrive il movimento dei fermioni in modo relativistico e immutabile. Queste ultime sono particelle con uno spin di mezzo corpo, come elettroni, protoni e quark.
Pertanto l’equazione di Dirac risolve comunque il problema delle probabilità negative continua a riconoscere le decisioni energetiche negative. Lo stesso Dirac non aveva una chiara spiegazione fisica del perché ciò fosse accaduto, e ha suggerito l’esistenza di un mare di buchi di energia negativa formati dal movimento dei fermioni nello stato eccitato. Questa spiegazione, infatti, fu rifiutata dalla comunità scientifica, e finalmente il paradosso dell’energia negativa fu spiegato qualche anno dopo con la scoperta del positrone.
Perché l’equazione dell’amore è solo un’invenzione romantica
Come avrai notato, l’equazione dell’amore e l’equazione di Hole sono molto diverse. In quest’ultima derivata è tagliata, è pre-moltiplicata per un’unità immaginaria e la massa ha un segno meno. Cosa è peggio, L’equazione di Dirac descrive il moto di una particella libera, cioè non interagisce con i campi esterni (ad esempio, campi magnetici o gravitazionali) o con altre particelle. In poche parole, L’equazione di Dirac ci parla di particelle singole e isolatema ardenti amanti!
È per questo motivo che L’equazione di Dirac non ha nulla a che fare con il concetto di entanglement quantistico: ciò è dovuto alle proprietà matematiche degli spazi di Hilbert, cioè degli oggetti misteriosi in cui vivono e prendono forma gli stati quantistici di due particelle. E se ancora non sei convinto, pensa questo fenomeno di “intreccio” si verifica solo a livello microscopicocioè, se ha senso introdurre la quantizzazione.
Quindi, inguaribili romantici, non tatuate l’equazione di Dirac, perché quando lo fate è come se diceste alla vostra metà migliore che volete continuare il viaggio … da soli!